Л.Г. Куракин, А.В. Курдоглян. Критические случаи устойчивости равновесий в дифференциальных уравнениях с двумя косимметриями. Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2018, № 1 (197), c. 26-32.

Рассматривается задача устойчивости равновесия дважды косимметричного дифференциального уравнения. Предполагается, что две косимметрии (векторные поля, ортогональные данному в каждой точке) удовлетворяют условиям Юдовича косимметричной версии теоремы о неявной функции. В частности, исследуемое равновесие некосимметрично, т.е. не является одновременно равновесием ни одной из косимметрий. Выполнено условие невырожденности – ядро соответствующей матрицы линеаризации двумерно. В этих условиях общего положения исследуемое равновесие является неизолированным и принадлежит двумерному непрерывному семейству равновесий. Устойчивость равновесия понимается как нейтральная устойчивость вдоль семейства равновесий и одновременно асимптотическая устойчивость в трансверсальных к нему направлениях. Критический случай, требующий нелинейного анализа, в рассматриваемой задаче имеет место, когда спектр устойчивости не содержит точек в правой полуплоскости, а его нейтральная часть s, лежащая на мнимой оси, отлична от двукратного нуля. Случай общего положения распадается на шесть подслучаев, отвечающих различным спектрам устойчивости. В каждом из них построена нелинейная модельная система и исследована устойчивость ее равновесия. Полученные результаты перенесены на полные уравнения. Для обоснования устойчивости применены теоремы Ляпунова и Румянцева об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных. Результаты для спектров s1 и s2 обобщены на случай произвольной конечной коразмерности.